शुद्ध गतिकी – गति, वेग और त्वरण के प्रकार

Hamid ali September 15, 2024 भौतिक विज्ञान (Physical Sciences)

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Kinematics Notes for Class 11, NCERT Class 11 Physics Chapter 3

कण की शुद्ध गतिकी (Kinematics)

शुद्ध गतिकी (Kinematics) वह अध्ययन है जिसमें हम वस्तुओं की गति का विश्लेषण बिना यह जाने करते हैं कि यह गति क्यों हो रही है। यह मुख्य रूप से एक दृढ़ पिंड (rigid body) की स्थानांतरण गति (translational motion) से संबंधित है जहां सभी कण समान रूप से गति करते हैं।

स्थानांतरण गति के प्रकार (Types of Translational Motion)

ऋजुरेखीय गति (Rectilinear Motion):एक सीधी रेखा के साथ होने वाली गति। उदाहरण: एक कार का सीधे रास्ते पर चलना।
वक्ररेखीय गति (Curvilinear Motion):एक वक्र पथ के साथ होने वाली गति। उदाहरण: हवा में फेंकी गई गेंद का वक्र पथ पर चलना।

निर्देश तंत्र (Reference Frame)

किसी वस्तु की स्थिति और गति का वर्णन करने के लिए एक निर्देश तंत्र (Reference Frame) आवश्यक होता है। यह एक संदर्भ बिंदु प्रदान करता है जिसके सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का निर्धारण किया जाता है।

स्थिति सदिश, वेग, और त्वरण (Position Vector, Velocity, and Acceleration)

स्थिति सदिश (Position Vector) $\overrightarrow{r}$

एक बिंदु की स्थिति को किसी मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष व्यक्त करता है। यह मूल बिंदु से उस बिंदु तक खींची गई एक सदिश (vector) होती है।

विस्थापन (Displacement) और तय की गई दूरी (Distance Traveled)

विस्थापन (Displacement): प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक स्थिति में परिवर्तन का माप। यह एक सदिश राशि (vector quantity) है।

तय की गई दूरी (Distance Traveled): कण द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई। यह एक अदिश राशि (scalar quantity) है।

औसत वेग (Average Velocity) $\overrightarrow{v_{av}}$

कुल विस्थापन का कुल समय के अनुपात में किया गया मापन। यह एक सदिश राशि है।

सूत्र:

$\overrightarrow{v_{av}} = \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$

औसत चाल (Average Speed) $c_{av}$

कुल दूरी का कुल समय के अनुपात में किया गया मापन। यह एक अदिश राशि है।

सूत्र:

$c_{av} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

तात्कालिक वेग और चाल (Instantaneous Velocity and Speed)

तात्कालिक वेग (Instantaneous Velocity) $\overrightarrow{v}$

किसी क्षण पर वस्तु का वेग। यह स्थिति सदिश के समय के सापेक्ष अवकलज (derivative) के बराबर होता है।

सूत्र: $\overrightarrow{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

इसकी दिशा पथ की स्पर्श रेखा के अनुरूप होती है।

तात्कालिक चाल (Instantaneous Speed) $c$ :

तात्कालिक वेग का परिमाण। यह एक अदिश राशि है।

सूत्र:

$c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}$

त्वरण (Acceleration / Kinematics Notes for Class 11)

1. तात्कालिक त्वरण (Instantaneous Acceleration) $\overrightarrow{a}$ :समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर। यह एक सदिश राशि है।

सूत्र: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

2. त्वरण के घटक (Components of Acceleration):

स्पर्श रेखीय त्वरण (Tangential Acceleration) $\overrightarrow{a_t}$

वेग के परिमाण (speed) में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होता है।

लम्बवत (केन्द्राभिमुख) त्वरण (Normal (Centripetal) Acceleration) $\overrightarrow{a_n}$

वेग की दिशा में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होता है।

कार्तीय निर्देशांक तंत्र में वक्र रेखीय स्थानांतरण: तीन ऋजुरेखीय गतियों का अध्ययन

वक्ररेखीय स्थानांतरण गति को कार्तीय निर्देशांक तंत्र में तीन आयामों (x, y, z) के अनुसार व्यक्त किया जाता है। किसी बिंदु $P(x, y, z)$ पर कण की स्थिति सदिश को $\overrightarrow{r} = xi + yj + zk$ से दर्शाया जाता है। कण के वेग (Velocity) और त्वरण (Acceleration) को समय के सापेक्ष अवकलज (Derivative) द्वारा व्यक्त किया जाता है:

वेग (Velocity):

$\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}i + \frac{dy}{dt}j + \frac{dz}{dt}k = v_x i + v_y j + v_z k$

त्वरण (Acceleration):

$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}i + \frac{dv_y}{dt}j + \frac{dv_z}{dt}k = a_x i + a_y j + a_z k$

x, y, z दिशाओं में वेग (Velocity) और त्वरण (Acceleration):

$v_x = \frac{dx}{dt}, \quad a_x = \frac{dv_x}{dt}$

$v_y = \frac{dy}{dt}, \quad a_y = \frac{dv_y}{dt}$

$v_z = \frac{dz}{dt}, \quad a_z = \frac{dv_z}{dt}$

उदाहरण (Example)

कण की स्थिति सदिश (Position Vector) और समय के साथ इसके विस्थापन और वेग का अध्ययन किया जाता है:

$\overrightarrow{r} = (t^2)i - \left(\frac{4}{t^{1.5}}\right)j + (2t)k$
समयांतराल $t = 0$ से $t = 4$ तक के बीच विस्थापन की गणना और उसकी व्याख्या।

ऋजुरेखीय गति (Rectilinear Motion)

एकसमान वेग से गति (Uniform Velocity Motion):

यह वह गति है जिसमें कोई वस्तु अपनी दिशा परिवर्तित किए बिना सरल रेखीय पथ पर चलती है।
वेग-समय (Velocity-Time) ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है।

एकसमान त्वरण से गति (Uniform Acceleration Motion):

इस गति में वेग की दिशा में एक समान त्वरण होता है। गणितीय समीकरण:
$v = v_0 + at$
$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
ग्राफिकल प्रस्तुतिकरण: वेग-समय (Velocity-Time) और त्वरण-समय (Acceleration-Time) ग्राफ।

समान और परिवर्तनशील त्वरण से गति के उदाहरण (Examples of Motion with Uniform and Variable Acceleration)

समान त्वरण से गति का उदाहरण (Uniform Acceleration Motion Example):

एक कण $v_0 = 20 \, m/s$ के प्रारंभिक वेग के साथ $x = 2 \, m$ पर $t = 0$ पर एक बिंदु से गुजरता है। इसका वेग कुछ समय बाद $v = 10 \, m/s$ हो जाता है।

कार्य:

(a) कण के त्वरण का मान ज्ञात कीजिए।
(b) $t = 8 \, s$ पर इसकी स्थिति और वेग ज्ञात कीजिए।
(c) $t = 0$ से $t = 8 \, s$ तक कण द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

(a) समान त्वरण गति के लिए तीसरी समीकरण का उपयोग करते हुए:

$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2(x - x_0)} = \frac{10^2 - 20^2}{2(32 - 2)} = -5 \, m/s^2$

(b) समान त्वरण गति के लिए दूसरी समीकरण का उपयोग करते हुए:

$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 2 + 20 \times 8 + \frac{1}{2}(-5) \times 8^2 = 32 \, m$

परिवर्ती त्वरण से गति (Variable Acceleration Motion):

वह गति जिसमें त्वरण समय, स्थिति या वेग के साथ बदलता है।

समय के फलन के रूप में दिया गया त्वरण (Acceleration as a Function of Time):

यदि त्वरण समय के फलन के रूप में दिया गया है, $a = f(t)$ , तो वेग और स्थिति ज्ञात करने के लिए समाकलन (Integration) का उपयोग करते हैं:

$v = \int f(t) \, dt, \quad x = \int v(t) \, dt$

उदाहरण समस्या:

$x$ -दिशा में एक कण का त्वरण $a = 3 - 2t \, m/s^2$ है। $t = 2 \, s$ पर इसका वेग और स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल:

$v = \int (3 - 2t) \, dt = 3t - t^2 + C$

दुबारा समाकलन करके, $x$ की गणना की जा सकती है।

स्थिति के फलन के रूप में त्वरण (Acceleration as a Function of Position):

जब त्वरण स्थिति पर निर्भर करता है, $a = f(x)$ , तो गति समीकरण का हल वेग और स्थिति के बीच संबंध का उपयोग करके किया जाता है।

उदाहरण समस्या:

यदि $a = -4x \, m/s^2$ है, तो दिए गए प्रारंभिक स्थितियों के साथ वेग और स्थिति के लिए समीकरण प्राप्त करें।

वेग के फलन के रूप में त्वरण (Acceleration as a Function of Velocity):

यदि त्वरण वेग के फलन के रूप में दिया गया है, $a = f(v)$ , तो हम समय, वेग, और स्थिति को जोड़ने के लिए अवकल समीकरणों (differential equations) का उपयोग करते हैं।